コンピュータで扱われる数は基本的に２種類です。１つは整数型と言われるもの，もう１つは実数型と言われるものです。 Tiny Basic で扱う数は１つの実数型の数で，明示的には整数型の数は扱いません。しかし， C を始めとして，本格的なプログラミング言語では必ず整数型の数も扱います。そして整数型と実数型については，コンピュータ一般についての常識の範囲のものと言えます。そこで，ここでは整数型の数とその計算について説明します。
コンピュータで数を扱う場合，その数を格納する仕方によってその数の型の分類がされます。 例えば，８ビット整数と言うと，８ビットのメモリーに整数型の方法で格納される数という意味です。 整数をメモリーに格納する仕方は単純です。 まず，正の整数または０のみを扱うことを考えましょう。 例として８ビットのメモリーに正の整数または０を格納するとします。その方法は簡単です。 ８ビットメモリーは ８個の箱に０，１が入ると考えられます。これらを２進法で表す数と見ると，２８＝２５６の数を表すことが出来ます。最小の数０が
と格納され，最大の数２５５が
と格納されます。一般に a7，a6，a5，a4，a3，a2，a1，a0，を０または１とするとき，
は， a7*27+a6*26+a5*25+a4*24+a3*23+a2*22+a1*21+a0 を表します。このような方法でメモリーに格納された数を 符号無し整数（unsigned integer） と言います。８ビットの符号無し整数は０から２５５までの整数を表します。同様に ｎビット符号無し整数は０から２ｎ－１までの整数 を表します。
符号無し整数の間での加減乗除は，基本的には筆算で行うような方法で可能です。 勿論このような計算は処理系で用意されますので，普通は意識する必要はありませんが，自前で多倍精度ルーチンを書く場合にはこのような知識は必須でしょう。 加法
は各桁同士を加え，繰り上がりは次の桁に送ります。 この計算の場合，最上位の桁で桁上がりがあると，８ビットを飛び出してしまいます。この場合はその桁を無視することにします。つまり桁あふれの部分は無視をします。 減法
は下位桁から順次引き，引けない場合は上位の桁から借りてきます。 この計算の場合，最上位の桁で 借りが必要になると，計算できません。（これは引く数の方が大きかったときです。）この場合の処理はエラーとしてしまう方法と，無理やり上位から借りてきて計算をしてしまう方法とが考えられます。 どちらの処理をするかは，作る側の考えによるでしょう。しかし，加法の場合との整合性を考えると，常に上位から借りてきて計算をしてしまうのが自然でしょう。 乗法
これも筆算の場合と同様に計算することが出来ます。２進数の場合，各桁で掛ける数は０または１のみなので，計算は簡単です。 具体的な例を挙げます。
このように計算されます。この場合も８ビットを越える部分は無視します。 除法
この場合も筆算と同様に計算することが出来ます。 ２進数の場合，各桁で割る数として立つものは０または１のみなので，計算は簡単です。 具体的な例を挙げます。
このように計算されます。この場合は８ビットを越える部分はでて来ません。正確な商と余りが計算できます。 以上のように符号無し整数での加減乗除は筆算で行われる方法によって可能です。そこで注意すべきこととして，結果がメモリーに納まらない場合は無視されると言うことです。 この無視と言うことをよく考えると，実は今の場合８ビットなので，２８＝２５６を法にする整数の合同を考えることに対応しています。 全ての整数は２５６を法にして，０～２５５のいずれかの数と合同です。そして２５６を法にして加減乗は普通に計算できました。このことに注意すると，上の加減乗の計算は，普通に計算をして，２５６を法にして合同になる０～２５５の数を取ることになっています。 このことは一般にｎビット整数でも全く同様です。即ち，
となります。 この事実は，特に取り立てて言うことの程ではない事実と感じるかもしれません。確かに，符号無し整数のみを扱っている場合はその通りでしょう。しかし，負の整数を含めて計算を行うことを考える場合，上の事実が重要なヒントになります。
実際の数の計算では，負の数を扱うのが普通です。そこで次に負の数まで考えた整数の格納法と計算について説明します。このように負の数まで考えた整数を符号付整数（signed integer）と言います。 負の数を扱う場合，符号を付けて表せば良いと考えるのは自然です。実際，先頭のビットを符号を表すとして，残りのビットで絶対値を表す方法もあります。しかし，一般に整数を表す方法としてはこれではなく，２の補数表示を使うのが普通です。以下にこの方法を説明します。
例として８ビットのメモリーに（正負の）整数を格納するとします。 ８ビットメモリーは，２８＝２５６の数を表すことが出来ます が，２の補数表示では，このうち半分を０または正の整数，残り半分を負の整数として表します。ですから， ０または正の整数は，０から１２７まで表すことが出来ます。また負の数は-１から-１２８まで表すことができます。即ち， ８ビットの２の補数表示による符号付整数は，－１２８から１２７までの数を表す ことになります。一般に， ｎビットの２の補数表示による符号付整数は，－２ｎ-１から２ｎ-１-１までの数を表す ことになります。 実際に数をメモリーに格納する方法をは次の通りです。
例えば －３４は ２５６-３４＝２２２ として格納します。３４からこの２２２を得る良く説明される方法として，３４の整数表現の各ビットを反転し，それに１を加える方法があります。３４は
と格納されますから，それを各ビット反転させると，
が得られます。これに１を加えたもの
が２２２で求める補数表示です。 実際，反転させたものと元の数を加えると，２５５になりますから，それに１を加えたものが２５６になり，上の規則で決めたものと同じになります。 一般にｎビットの２の補数表示による負の整数の格納の仕方も全く同様です。即ち，
この規則で，正整数から，それに負符号を付けたものに変換する方法は， 各ビットを反転（1は0に，0は1に）したものに１を加える ことで得られます。
という表示規則は一見人為的に思われますが，整数の合同の理論の立場からすると，極めて自然なものです。 実際，２５６を法とした合同関係では，２５６を加えても同じものと見做されます。そこで-１２８から-１までの数は２５６を法にした合同関係で８ビット整数として表されるものとしたのが上の規則です。 この，２５６を法とした合同関係を使って定義した２の補数表示は次のような性質を持っています。
証明 １．負の数は上の決め方から，１２８から２５５までの数ですから，10000000(２進数表示）＝１２８以上で最高位のビットは１です。 ２．aを正の整数≦127とし，そのビット反転した数を a' とします。このとき， a+a'=11111111(２進数表示）=255=28 - 1 が成立します。従って a' + 1 = 28 - a であり，a' + 1が -a の補数表示になります。 ３．a を整数として，正の場合には a'=a とします，負の場合には規則に従って符号無し整数に変換したものを a' とします。b についても同様に b' を定義します。このとき，a，b の正負に係らず a ≡ a' (mod 256) b ≡ b' (mod 256) が成立します。一方 a + b ≡ a' + b' (mod 256) a - b ≡ a' - b' (mod 256) a * b ≡ a' * b' (mod 256) が成立しますから，左辺の結果が８ビット整数の範囲にあれば，右辺の結果の補数表示として得られます。 ４．結果が範囲外になる計算の場合は，一見おかしな結果が得られます。例えば，今の場合（８ビット），128 は -128 を表しますから， 127+1 = -128 という結果が出ます。この場合は正確には 127+1 ≡ -128 (mod 256) と解釈するべきでしょう。このように結果が格納の範囲外になる場合は当然ですが，正しい結果にはなりません。 上の性質のうち，３は大変好都合な性質です。 これは例えば次のように計算が出来ることを意味しています。 -13×7 の計算をするとします。普通であれば，13×7=91 を計算して，符号を考慮して， -13×7 = -91 を求めます。しかし，実は上の方法を考慮すると次のようにして計算出来ることが分かります。即ち， -13 は元々２の補数表示で（符号無し整数の仕方で）243 としてメモリに格納されています。ですから，符号のことを考えないで，そのまま計算すると243×7=1701ですが，８ビット計算では桁あふれは無視しますから，1701 ≡ 165 mod 256 より， -13×7 = 165 （８ビット整数での結果） です。ここで，165 は２の補数表示では-91 です！つまり，計算では符号のことは一切考えずに符号なし整数として計算し，結果を表示するときだけ２の補数表示にすれば良いわけです。 これらのことは加法や減法についても一般的に成立します。特に減法は符号を反転させて加えることで可能ですから，符号付き整数での加減乗の計算は，符号無し整数での加法，乗法，そして，符号の反転で計算可能です。 Tiny Basic では整数型の数は使えませんが，整数型の数の雰囲気を知るためのプログラムを作りました。integer.tbt です。お試しください。
２の補数表示の性質は２ｎを法とする整数の合同を使って理解するのが最適です。このように 計算機の内部での処理と初等整数論とは意外なところで関連している ものです。整数の合同について馴染みのない人は是非整数の合同の項を読むことを勧めます。 |